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Introducción
Una proposición es una sentencia declarativa que puede ser verdadera o falsa pero no
ambas.
Las proposiciones serán expresadas como P, Q, .... y algunas veces
son llamadas átomos o fórmulas atómicas. Una
proposición compuesta se forma por una proposición
modificada por la palabra no o por conectar sentencias
con las palabras y, o, si ... entonces, si y solo si.
Los conectivos lógicos se simbolizan por:
 Negación.
Conjunción.
 Disyunción.
 Implicación.
 Equivalencia.
Si Juan es estudiante entonces no ha presentado su examen de titulación.( )
A las proposiciones compuestas se les llama formulas bien formadas. (wffs).
Definición I
El alfabeto proposicional consiste de lo siguiente:
- Un conjunto de variables denominadas átomos: P, Q, R,...
- Un conjunto de conectivos lógicos (Negación, Conjunción,
Disyunción, Implicación y Equivalencia).
- Los símbolos de paréntesis.
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Definición II
Una fórmula bien formada se define como:
- Una fórmula
atómica es una fórmula.
-
 es
una fórmula también lo será
 .
- Si
 y
son fórmulas entonces la la conjunción, disyunción,implicación y equivalencia de
 y
también lo será.
- Una expresiónes una fórmula si y únicamente si se puede demostrar por las anteriores condiciones.
La implicación recibe el nombre de fórmula condicional y la equivalencia el
de fórmula bicondicional.La jerarquía de los conectivos lógicos se aplica de la siguiente forma:
Negación,Conjunción, Disyunción, Condicional y bicondicional.
EJEMPLO 1
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Definición III
Una condición de verdad (T) o falsedad (F) asignada a una fórmula la definimos como valor de verdad.
TABLAS DE VERDAD
Al resultado de aplicar valores de verdad (T) o falso(F) en cada expresión
atómica se le denomina tablas de la verdad.
MOSTRAR TABLA
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Definición IV
Cualquier renglón en una tabla de verdad para una fórmula dada P se le llama interpretación de P.
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Definición V
Una fórmula P
es una tautología (y se escribe |= P si su valor es T bajo toda posible interpretación de P.
Definición VI
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Una fórmula P es una contradicción o inconsistencia si su valor es F bajo cualquier posible interpretación de P .
Ejercicio 1: Pruebe mediante tablas de la verdad que la expresión siguiente es una
contradicción:
MOSTRAR DEMOSTRACION
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Definición VII
Si una fórmula P
es verdadera bajo una interpretación I, entonces se dice que I satisface a P o que P es satisfecha
por I y así a I se le denomina un modelo de P.
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Definición VIII
Dos fórmulas P y Q se dice que son equivalentes, escribiendo
 ,
si y sólo si se cumple que
|=
Ejercicio 2:
Mediante tablas de la verdad probar la siguiente expresión:
a) La siguiente equivalencia expresa la propiedad conmutativa para
la conjunción:
De manera similar existe la ley conmutativa para la disyunción.
La siguiente equivalencia expresa la propiedad asociativa para la disyunción:
La propiedad distributiva para la disyunción sobre la conjunción es:
Y la propiedad distributiva para la conjunción sobre la disyunción:
Ley de la doble negación:
Leyes de De Morgan:
Ley de la negación sobre la implicación:
Ley de consolidación de antecedentes:
Leyes de idempotencia
Leyes inversas:
- Leyes de dominación:
- Leyes del neutro:
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Definición IX
Una literal es un átomo o la negación de un átomo.
Ejercicio 3:
Pruebe la siguiente equivalencia:
La ley de la negación sobre la implicación afirma que:
Negando ambos lados de la equivalencia:
Aplicando ley de doble negación
y De Morgan:
Ejercicio 4:
Pruebe la siguiente equivalencia:
entonces tenemos:
Aplicando la misma equivalencia para
tenemos:
Por ley asociativa de la disyunción:
Por ley de De Morgan:
luego
o bien
Forma Normal conjuntiva y disyuntiva
Una fórmula P está en forma normal conjuntiva si tiene la
forma
 siendo
y cada
es una disyunción de literales. Por otro lado la fórmula
P
se encuentra en forma normal disyuntiva si tiene la
forma
 y
cada
 es
una conjunción de literales.
Una fórmula se puede transformar a forma normal conjuntiva o disyuntiva mediante el siguiente algoritmo:
a) Eliminar las fórmulas condicionales mediante la equivalencia:
 y
las fórmulas bicondicionales mediante la equivalencia:
 .
b) Repetidamente usar las leyes de De Morgan y la ley de la doble negación para
acercar lo más posible las negaciones a los átomos.
c) Repetidamente usar alguna de las propiedades distributivas con la finalidad de
obtener la forma normal deseada.
Ejercicio 5:
Cambiar la siguiente expresión a su forma normal conjuntiva (comprobar por tablas)
Solución:
por (a)
por (a)
por (a)
por propiedad asociativa:
por propiedad conmutativa:
por (c )
Debido a que
|=
por propiedad asociativa:
Las interpretaciones para esta tabla son:
MOSTRAR TABLA
Ejercicio 6 Encontrar la disyuntiva normal para la siguiente expresión y verificar la FND por tablas de la verdad.
Solución:
por paso (a)
por paso (a)
por paso (b)
por paso (b)
propiedad asociativa:
propiedad asociativa:
por paso ( c )
Ley inversa:
Ley de dominación:
Ley inversa
Ley de dominación
Ley del silogismo hipotético.
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